jueves, 6 de octubre de 2011

Que es una Gradiente

Gradientes

En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:
Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto).
Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual)
La aplicación de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios:
Negocios con amortización (crédito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la última cuota.
Negocios de capitalización (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado.
Gradientes diferidos. Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen del gradiente y el momento de valoración es el período de diferimiento o de gracia.
Gradientes anticipados o prepagables. Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradiente y el momento de valoración es el período de anticipación. Pago o cobro por adelantado. Los valores actuales y futuros de los gradientes anticipados (adelantados) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i).
5.1. Gradiente uniforme
La progresión aritmética, quiere decir, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en un mismo monto.
El gradiente uniforme es una sucesión de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada período de interés. El gradiente (G) es la cantidad del aumento o de la disminución. El gradiente (G) puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables son:
Permiten calcular el valor actual de un gradiente aritmético creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. Sólo tienen aplicación en el siguiente flujo de caja:
Para el cálculo de los gradientes prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o futuro (según el caso) del gradiente pospagable.
5.2. Anualidades perpetuas o costo capitalizado
Son anualidades que tienen infinito número de pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin embargo, cuando el número de pagos es muy grande asumimos que es infinito.
Este tipo de anualidades son típicas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses.
Para el cálculo de la anualidad en progresión geométrica perpetua operamos, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito. Siendo esto lo que caracteriza a una perpetuidad, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante, a saber:
Ingresando la variable C dentro del paréntesis, nos queda:
El término cuando n es muy grande hace tender su valor a cero por lo tanto el valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, la calculamos con la fórmula de la serie infinita:
Fórmula o ecuación de la serie infinita, sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad, conociendo la tasa de interés periódica y la cuota.
Las perpetuidades permiten calcular rápidamente el valor de instrumentos de renta fija (VAP) por muchos periodos, «C» es el rendimiento periódico e «i» la tasa de interés para cada periodo. Ejemplos de perpetuidades, son las inversiones inmobiliarias en que existe un pago de alquiler por arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los proyectos de obras públicas, carreteras, presas, valuación de acciones, etc.
Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto después de efectuar el pago anual.
5.3. Gradiente geométrico
Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago. En la progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión, representado por E.
5.3.1. Valor actual de un gradiente en escalera
Devuelve el valor actual de un gradiente en “escalera”, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.
Un gradiente en escalera es aquel en el cual se presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.
5.4. Valor futuro de gradientes
A partir del VA actual obtenido con las fórmulas respectivas, calculamos el valor futuro de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo.
El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalización, para los cálculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado después de un plazo determinado.
5.4.1. Valor futuro de un gradiente en escalera
Es una serie de pagos iguales que al terminar tienen una variación y vuelve a presentarse la serie de pagos iguales.
El cálculo del VF de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, es posible cuando conocemos la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Estos gradientes también son de capitalización.
5.4.2. Pago de un gradiente
Es el primer pago de una serie con gradiente aritmético o geométrico, creciente o decreciente, que se obtiene conociendo la tasa de interés periódica, el plazo, el valor presente o el valor futuro. Presente en problemas de amortización y capitalización.
En los problemas de amortización, es posible utilizar el valor presente y valor futuro, ambos se pueden presentar simultáneamente, como es el caso del leasing en el cual debemos amortizar un valor inicial (VA) y al final del plazo pagar un valor de compra (VF) para liquidar la operación.
Al confeccionar las tablas de amortización, en los problemas de capitalización, como partimos de un valor ahorrado igual a cero, para conseguir un valor futuro no utilizamos el valor inicial.
5.4.3. Pago en escalada conociendo el VF
Utilizado solo para casos de amortización. Reiteramos que un gradiente en escalera presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo 18 cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.
Pago en escalada conociendo el VF, es calcular el valor de la primera cuota de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, conociendo el valor actual amortizable, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.
5.4.4. Pago en escalada conociendo el VF
Utilizado solo para casos de capitalización. Permite conocer el valor de la primera cuota de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, conociendo el valor futuro a capitalizar, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.
5.4.5. Tasa periódica de un gradiente
Conociendo el gradiente, el plazo, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro podemos obtener la tasa de interés por período de un gradiente. Aplicable para gradientes aritméticos o geométricos, crecientes o decrecientes y casos de amortización o de capitalización.
Unidad III : Gradientes Uniformes.
3.1 .- Introducción : Las circunstancias que rodean una operación financiera (La disponibilidad de efectivo para realizar los pagos, la exigencia del acreedor de captar lo antes posible el capital, la comunidad para que el deudor amortice una deuda, entre otros) hacen que los flujos de caja de tales operaciones financieras no siempre sean valores iguales a intervalos iguales de tiempo, sino que, por el contrario, se presentan con frecuencia, la serie de pagos periódicos o no, pero van aumentando o disminuyendo a través del tiempo. En estos momentos, se logran resolver una serie de problemas propios de las matemáticas financieras, cuyo comportamiento no se ajusta a ninguno de los modelos clásicos existentes, ya sea en los formularios o en las máquinas y programas financieros.
Encontraremos series de pagos variables en casos como los costos de: combustible, canasta familiar, materiales de construcción, la educación, de transporte, amortización de crédito, entre otros, cuya importancia en la vida real exige que quien haya cursado matemáticas financieras puede darle una solución adecuada a esta clase de problemas.
3.2 .- Gradiente Aritmético : Se llama así, a una serie de pagos periódicos en la cual ada pago es igual al del periodo inmediatamente anterior incrementando de la misma cantidad d dinero. Entonces el valor del gradiente G se obtiene con la ecuación:
G= Ganancia/n-1 (1); donde: Ganancia= Valor Futuro-Cantidad Base y n= N° de periodos.
4.1.- Conceptos Básicos:
* Depreciación: Es la pérdida de valor de un activo conforme se utiliza para producir ingresos.
* Depreciación acumulada: Es la suma de las depreciaciones hasta la fecha.
* Activos Fijos: Se utilizan en más de un año e incluyen maquinaria, equipo de oficina, edificios y propiedades similares de los negocios.
* Recuperación de Costos: Es el concepto, utilizado en las recientes leyes fiscales, de la declinación en el valor de un activo.
* Valor en Libros: Es el valor de un activo en los registros de la compañía, el valor en libros de un activo no implica que el activo se pueda vender por ese importe.
* Tabla de recuperación en costos: Muestra la recuperación anual del costo, el valor en libros y la recuperación acumulada por el costo, durante el numero de años predeterminados especificaos en la ley fiscal.
* Tabla de depreciación: Muestra la depreciación anual, el valor anual en libros y la depreciación acumulada para cada año.
* Depreciación Total: Es el costo original menos el valor de reventa o de mercado.
* Vida útil: Es el número de años durante el cual se usa y deprecia un activo.
4.2.- Importancia de la Depreciación:
Desde el momento en que se adquiere un bien (A excepción de los terrenos y algunos metales), éste empieza a perder valor por el transcurso del tiempo o por el uso que se le da; esta pérdida de valor es conocida como depreciación y debe reflejarse contablemente con el fin de:
·  Determinar el costo de bienes o servicios que se generan con dichos activos.
·  Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al final de su vida útil.
Es importante que toda empresa que se dedica a la fabricación de bienes y servicios, considere provisiones por depreciación, porque de no ser así, puede verse en serios problemas financieros y descapitalización al terminar la vida útil de sus activos, además se considera como factor importante al establecer sus costos de operaciones y servicios.
4.3.-Objetivos y Valores de la Depreciación:
* Objetivos:
·  Reflejar los resultados de la pérdida de valor del activo.
·  Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo activo al finalizar la vida del antiguo.
* Valores:
·  Los cargos periódicos que se realizan son llamados “Cargos por Depreciación”.
·  La diferencia entre el valor original y la depreciación acumulada a una fecha determinada se le conoce como “Valor en Libros”.
·  El valor en libros de un activo no corresponde necesariamente a su valor de mercado, en tiempos de alta inflación, esto puede llegar a ser varias veces superior, pues aquel refleja únicamente la parte del costo original que esta pendiente de ser cargado a resultados.
·  El valor que tiene el activo al final de su vida útil se le conoce como “Valor de Salvamento” o “Valor de Rescate” y debe ser igual al valor en libros en esa fecha.
4.4.- Métodos de Depreciación:
4.4.1.- Método de Línea Recta (L.R.): Es el método más simple y el más utilizado en muchos países como México, es el único aprobado por las autoridades para cumplir con las disposiciones fiscales al respecto. Este método supone que la depreciación anual es la misma durante toda la vida útil del activo. De acuerdo con ello:
Dk= (P - Vs)/n (1); donde : Dk= Depreciación Anual (Cargo anual al fondo de reserva), P= Valor del Activo; Vs= Valor de Salvamento, n= Vida útil del activo, k= plazo (1" k " n), P - Vs= Base de depreciación (Constante).
* Valores:
* Depreciación Acumulada: Ak= KDk (2)
* Valor en Libros: VLk= p - Ak (3)
* Depreciación con inflación: Casi siempre que se adquiere un bien material, por ejemplo al comprar un automóvil, se observa que el valor consignado en la factura original es menor que el valor de compraventa y esto se debe a que la inflación produce un efecto mayor que el que produce la depreciación. A continuación se justifica una fórmula para ser empleada en casos como el que se menciona, suponiendo que ambas, inflación y depreciación, permanecen constantes en el periodo de tiempo que se esté considerando. Si esto no se cumple o si la depreciación es considerada o evaluada de otra forma, no con el método de línea recta que ahora nos ocupa, entonces se procederá con los cálculos de manera individual por año, pero sin llegar a una formula general.
El valor de salvamento o de compraventa de un activo considerando inflación, con el método de L. R. Es:
Vs= P(1+if)n - Dk[(1+if)n - 1] (4)
if
donde if= tasa de inflación; Dk= Depreciación Anual.
* Problema: Se compra un equipo de computo con valor de $16, 000 y se calcula que su vida útil será de 4 años, antes de que deba ser reemplazado por un equipo más moderno, su valor de salvamento se calcula en $2500, determine por L.R. :
·  La depreciación anual.
·  Elabore una tabla de depreciación.
Solución:
P= $16, 000
Vs= 2500
n= 4 Años.
Dk= ?
a) Empleando: Dk= (P - Vs)/n
Sustituyendo:

Dk= (16000 - 2500)/4
Dk= $3375.00

b) Tabla de Depreciación:
Año (n)
Depreciación Anual
Depreciación Acumulada
Valor en Libros
0
-
-
$16, 000
1
3375
3375
12, 625
2
3375
6750
9, 250
3
3375
10, 125
5, 875
4
3375
13, 500
2, 500
Vl4=V5=$2500 Ok
* Problema: La compañía constructora del Sureste S.A., compró una maquina para hacer block-ladrillo en $12, 100, estima que tendrá una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $1320 con una inflación del 11% Anual. Empleando el método de L.R. obtener:
·  La depreciación anual.
·  Elabore una tabla de depreciación.
Solución:

P= $12, 100
Vs= $1320
n= 5 Años.
if= 11% Anual.

a) Empleando:
Vs= P(1+if)n - Dk[(1+if)n - 1]
if
Sustituyendo:
1320= 1200(1.11)5 - D[(1.11)5 - 1]
0.11
Dk= $3061.95 (Depósito Anual).
n
Valor c/Inflación
Depreciación Anual
Depreciación Acumulada
Valor en Libros
0
-
-
-
$12, 100.0000
1
13, 431.0000
3061.95
3061.95
$10, 369.0500
2
11, 509.6450
3061.95
6123.90
$8, 447.6955
3
9, 376.9420
3061.95
9185.85
$6, 314.9920
4
7, 009.6411
3061.95
12, 247.80
$3, 947.6911
5
4, 381.9371
3061.95
15, 309.75
$1, 320.0000
fc= 1+i%/100 f=1.11
4.4.2.- Método por suma de dígitos al año (S.D.A.): Es un método acelerado de depreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con el transcurso del tiempo. La suma de dígitos s del 1 a n de los años de vida útil esperada del activo se determina utilizando la fórmula:
S= n(n+1) (5)
2
Depreciación y Valor en Libros: La depreciación por el método S.D.A. se obtiene aplicando la fórmula:
Dk= n-k+1(P-Vs) (6)
s
y el valor en libros de obtiene aplicando la fórmula:
Vlk= p - [k(n - 0.5k + 0.5) (P-Vs)] (7)
5
donde: P= Valor del Activo; Vs= Valor de Salvamento; s= Suma de dígitos; n= Vida útil del activo; k= plazo (1" k"n) y (P-Vs)= Base de depreciación (Constante).
* Problema: Un camión de reparto que cuesta $11, 000 se espera que dure 6 años y tenga un valor de salvamento de $500. aplicando S.D.A. obtener:
·  El valor de la depreciación para cada uno de los 6 años
·  Elabore tabla de depreciación.
Solución:
P= $11, 000
n= 6 Años.
Vs= $500
a) Valor de depreciación por cada año aplicando S.D.A.
Utilizando:
Dk= n-k+1(P-Vs)
s
S= n(n+1)
2
Dk= 6-k+1(11, 000-500)
21
Dk= (7-k)($500)
Si k=1: D1=6(500)= $3000
Si k=2: D2=5(500)= $2500
Si k=3: D3=4(500)= $2000
Si k=4: D4=3(500)= $1500
Si k=5: D5=2(500)= $1000
Si k=6: D6=1(500)= $500
b) Elaborar tabla de depreciación:
Año (n)
Depreciación Anual
Depreciación Acumulada
Valor en Libros
0
-
-
$11, 000
1
$3000
$3000
9, 000
2
2500
5500
5, 500
3
2000
7500
3, 500
4
1500
9000
2, 000
5
1000
1000
1, 000
6
500
10500
500
* Problema: Una sierra eléctrica de control digital costó $33, 000. ¿Cuál será su valor de salvamento si en el primer año se desprecia $9500? tiene 5 años de vida útil y se considera inflación de 12.3% anual. Utilice el método de S.D.A.

Solución:
Vs5=?
P= $33, 000
D1= $9, 500
n= 5 Años.
if= 12.3% Anual
fc= 1+if/100
fc= 1.123

Como la depreciación es diferente cada año y existe inflación, entonces el análisis debe ser de manera individual por año, sin llegar a fórmula general, empleando:
Dk= n-k+1(P-Vs)
s
S= n(n+1) = 5(6) = 15; si k=1 D1= 9500
2 2
Sustituyendo: 9500=5-1+1(P-Vs)"(P-Vs)= $25, 500 (Base de dep cte)
15
Valor de la sierra al final del 1er año:
P1= Vs0*Fc= $33, 000(1.123)
P1= $37, 059
Vs1= P1 - D1= $37, 059 - $9, 500
Vs1=$27, 559
Para k= 2
D2= 5-2+1(28, 500)
15
D2= $7, 600
Valor de la sierra al final del 2do año:
P2= Vs1*Fc= $27, 559(1.123)
P2= $30, 948.76
Vs2= P2 - D2= $30, 948.76 - $7, 600
Vs2=$23, 348.76
Para k= 3
D3= 5-3+1(28, 500)
15
D3= $5, 700
Valor de la sierra al final del 3er año:
P3= Vs2*Fc= $23, 343.76(1.123)
P3= $26, 220.65
Vs3= P3 - D3= 26, 220.65 - 5700
Vs3=$20, 520.65
Para k= 4
D4= 5-4+1(28, 500)
15
D4= $3, 800
Valor de la sierra al final del 4to año:
P4= Vs3*Fc= 20, 520.65(1.123)
P4= $23, 044.7
Vs4= P4 - D4= 23, 044.7 - 3800
Vs4=$19, 244.7
Para k= 5
D5= 5-5+1(28, 500)
15
D5= $1, 900
Valor de la sierra al final del 5to año:
P5= Vs4*Fc= 19, 244.7(1.123)
P5= $21, 611.92
Vs5= P5 - D5= 21, 611.92 - 1, 900
Vs5=$19, 711.80
Conclusión: El valor de salvamento de la sierra de $33, 000, con una inflación del 12.3% Anual será de $19, 711.80 de acuerdo al método S.D.A.
4.4.3.- Método por Fondo de Amortización (F.A.): Este método toma en consideración los intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo, por lo tanto, el incremento anual al fondo estará dado por la suma del cargo anual por la depreciación más los intereses ganados en el periodo de referencia.
Depósito Anual: La depreciación anual es el equivalente al depósito que es necesario realizar, el cual se obtiene con la fórmula:
D= (P-Vs)i (8)
(1+i)n-1
donde: P= Valor del activo; Vs= Valor de Salvamento; i= Tasa de interés; n= Número de años de vida útil del activo y (P-Vs)= Base de depreciación (Constante).
Depreciación Acumulada: Esta depreciación se puede calcular empleando la fórmula:
Ak=D[(1+i)k - 1] (9)
i
donde: D= Depósito Anual y k= plazo (1"k"n)
Valor en Libros: Es el valor del activo en cualquier periodo k, el cual se calcula, empleando la fórmula:
Vlk= P-Ak (10) ; donde: P= Valor del Activo; Ak= Depreciación Acumulada y k= plazo (1"k"n).
Efecto de la Inflación: Cuando ocurre esto y el bien se deprecia por F.A., entonces el depósito y la depreciación acumulada se calculan empleando las fórmulas:
D= (P-Vs)iR (10) y Ak= D[(1 iR)k-1 ] (11)
(1 iR)n-1 iR
donde: iR= Tasa Real; la cual se obtiene aplicando la ecuación iR= if-d (12); donde if= Tasa de inflación y d= Tasa fija de depreciación.
* Problema: Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel. Su costo de adquisición es de $40, 000 y se calcula que tenga una vida útil de 5 años, al cabo de los cuales su valor de salvamento será nulo. El interés vigente es de 35% Anual. Aplicando F.A. Determine:
·  El cargo anual por depreciación (Depósito).
·  Elabore una tabla de depreciación.
Solución:

P= $40, 000
Vs= $0
n= 5 años.
i= 35% Anual = 0.35

a) Empleando:
D= (P-Vs)i = (40, 000 - 0)0.35
(1+i)n-1 (1.35)5 - 1
D= $4, 018.3311 (Depósito Anual)
b) Elaborar tabla de depreciación.
n
Depósito Anual
Intereses Ganados
Depreciación Anual
Depreciación Acumulada
Valor en Libros
0
-
-
-
-
$40,000.00
1
4,018.3311
-
4,018.3311
4,018.3311
35,981.669
2
4,018.3311
1,406.415
5,424.7470
9, 443.0780
30,556.921
3
4,018.3311
3,305.079
7,323.4080
16,766.486
23,233.513
4
4,018.3311
5,868.270
9,886.6010
26,653.080
13,346.911
5
4,018.3311
9,328.580
13,346.9110
40,000.000
-
vlk=P-Ak
Intereses ganados son sobre la depreciación acumulada; depreciación anual es igual al depósito más los intereses del periodo k.
* Problema: Considerando que tendrá una vida útil de 13 años y un valor de salvamento de $16, 000, la empresa “Botanas y Aperitivos S.A.”, compro un nuevo equipo para freír sus productos. Aplicando F.A. Obtener:
·  El costo original, si el cargo por depreciación anual (Depósito) es de $750 con un tipo de interés del 12% Anual
·  El valor en libros al término del décimo año de servicio.

Solución:
n= 13 años.
Vs= $16, 000
P= ?
D= $750
i= 12% Anual= 0.12

a) Empleando:

D= (P-Vs)i
(1+i)n-1
750= (P - $16, 000)0.12
(1.12)13-1

P= $37, 021.83
b) Empleando:
Vlk= P - Ak y Ak=D[(1+i)k - 1]
i
Para k= 10
A10=750[(1.12)10 - 1] = $13, 161.5513
0.12
para k= 10
Vl10= 37, 021.83 - 13, 161.5513
Vl10= $23, 860.28
* Problema: Un montacargas de control digital, costó $47, 500 y se supone que tendrá una vida útil de 6 años y valor de salvamento de $35, 300, considerando un índice inflacionario constante de 11.4% anual, sabiendo que la tasa fija de depreciación es de 14% Anual, aplicando F.A. obtener:
·  El cargo por depreciación anual (Depósito).
·  La depreciación acumulada hasta el tercer año.
·  Elabore una tabla de depreciación.
Solución:
P= $47, 500.
n= 6 años.
Vs= $35, 300.
if= 11.4% Anual.
d= 14% Anual.
iR= if - d
iR= 11.4% - 14%
iR= -2.6% = -0.026
a) Empleando:
D= (P-Vs)iR
(1 iR)n-1
D= (47, 500 - 35, 300)(-0.026)
(1 - 0.026)6 - 1
D= $2, 169.5604 (Depósito Anual).
b) Empleando:
Ak= D[(1 iR)k-1 ]
iR
para k= 3
A3= 2, 169.56[(1 - 0.026)3 - 1 ]
-0.026
A3= $6, 340.92
c) Tabla de Depreciación:
n
Depósito Anual
Intereses No Ganados
Depreciación Anual
Depreciación Acumulada
Valor en Libros
0
-
-
-
-
$47,500.000
1
2,169.5604
-
2,169.5604
2,169.5604
45,330.4396
2
2,169.5604
-56.4086
2,113.1518
4,282.7122
43,217.2878
3
2,169.5604
-111.3505
2,058.2099
6,340.9221
41,159.0779
4
2,169.5604
-164.8640
2,004.6964
8,345.6185
39,154.3815
5
2,169.5604
-216.9861
1,952.5743
10,298.1929
37,201.8072
6
2,169.5604
-267.7530
1,901.8074
12,200.0000
35,300.0000
Unidad V : Análisis de alternativas de inversión:
5.1.- Introducción y Conceptos:
* Introducción: Toda la vida nos la pasamos tomando decisiones en cuanto a escoger la alternativa que según nuestro criterio es la mejor de cuantas son posibles para enfrentar un problema o resolver una situación en particular.
* Conceptos:
Alternativa: Es una opción independiente para una solución dada.
Factores que Influyen:
·  Costo de compra de bienes.
·  La vida anticipada del bien.
·  Costos anuales de mantenimiento.
·  Valor anticipado de reventa del bien.
·  La tasa de interés.
·  Etc.
Criterio de Evaluación: Para poder comparar diferentes métodos para lograr un objetivo dado, es necesario tener un criterio de evaluación que se pueda utilizar como base para juzgar las alternativas. En matemáticas financieras, el dinero es la base de la comparación. De esta manera, cuando hay varias maneras de lograr un objetivo dado, generalmente se selecciona el método que tiene el menor costo global.
5.2.- Calculo de Valores:
5.2.1.- Valor Presente (VP): El método de valor presente se usa más frecuentemente para determinar el valor actual de futuros ingresos y egresos. Por ejemplo: Quisiéramos saber el valor presente de los ingresos que produzca una propiedad, un edificio en renta o un pozo petrolero, esto nos proporciona una buena estimación del precio en que se pueda comprar o vender la propiedad.
Este método es uno de los criterios que más se utiliza en la selección y evaluación de proyectos de inversión. Consiste en determinar el valor en el tiempo cero de los flujos de efectivo que genera el negocio-proyecto y compararlo con la inversión inicial. Si este valor actual es mayor que el desembolso inicial, entonces es recomendable que el proyecto sea aceptado, es decir, VP>0. para valuar estos flujos se emplea la expresión:
VP= -P + n

 Ft + A [(1+i)n - 1] (1)
t=1(1+i)t i(1+i)n
donde: VP= Valor Presente, P= Inversión Inicial; Ft= Flujo neto en el periodo t; n= número de periodos de vida del negocio-proyecto; i= tasa de retorno mínima atractiva (Trema) o costo de capital.
La ventaja de usas la trema de la empresa en el proyecto, en lugar del costo del capital invertido, es su facilidad de determinación, así como la de incluir factores, tales como el riesgo de la inversión, la liquidez de la empresa y la inflación de la economía. Cualesquiera que sean los flujos de efectivo el VP es único para cada tasa de interés i.

5.2.2.- Valor o Costo Anual (VA): Este método se describe mejor como el método del valor anual uniforme equivalente y consiste en convertir todos los ingresos y gastos que ocurren durante un periodo o una anualidad uniforme equivalente, entonces es recomendable que un proyecto sea aceptado cuando VA>0. Para evaluar los flujos se emplea la expresión:
VA= -P + [i(1+i)n] + {[ n

 Ft ] [i(1+i)n]} Vs [ i ] A (2)
(1+i)n - 1 t=1 (1+i)t (1+i)n - 1 (1+i)n - 1
donde: VA= Valor Anual Equivalente; P= Inversión Inicial; Ft= Flujo Efectivo para el periodo t; Vs= Valor de Salvamento; A= Anualidad (Costo Uniforme); i= Tasa de recuperación mínima atractiva (Trema); n= Número de años de vida del proyecto.

5.2.3.- Tasa Interna de Rendimiento (TIR): La tasa interna de rendimiento i* (TIR), es una medida de rentabilidad ampliamente aceptada y se define como “la tasa de interés que reduce a cero, el valor presente (VP), el valor futuro (VF) o el valor anual uniforme equivalente (VA), de un flujo de caja”. (Serie de Ingresos y egresos).
CALCULO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO (TIR)
CASO I: Método de Valor Presente (VP): Para éste caso se emplea la ecuación:
0= P n

 Ft A [(1+i*)n -1] (3)
t=1 (1+i*)t i* (1+i*)n
CASO II: Método del Valor Anual Equivalente (VA): En éste paso se emplea la ecuación:
0= P [i* (1+i*)*] Vs [ i*)n ] A (4)
(1+i*)n - 1 (1+i*)n - 1
Donde: i*= Tasa interna de rendimiento (TIR).
Para el calculo de i* (TIR) es necesario apoyarse en el proceso ensayo-error e interpolación, hasta lograr que las ecuaciones anteriores quede balanceada.
Cuando i* (TIR) se emplea en el análisis de proyectos de inversión, se compara con la tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA). Cuando TIR>TREMA, conviene hacer la inversión (Emprender el proyecto) y viceversa, si TIR<TREMA no conviene el proyecto.
5.3.- Criterios Generales para Comparar Alternativas de Inversión:
5.3.1.-Método de Valor Presente:
5.3.1.1.- Alternativas con Vidas Útiles Iguales: El valor presente (VP) de evaluación de alternativas con vidas útiles iguales, es un método muy popular, porque los gastos o entradas futuras se transforman en pesos equivalentes de ahora. De esta manera es muy fácil, aun para una persona poco familiarizada con el análisis económico, ver la ventaja económica de una alternativa sobre otra o más alternativas. Esta comparación es directa, si las dos o más alternativas se utilizan en idénticas condiciones, denominándose alternativas de igual servicio y los ingresos anuales tendrán el mismo valor numérico, es decir, que debemos elegir la alternativa con menor valor presente (VP). 
5.3.2.-Método del Costo Anual: La ventaja principal de éste método (De comparar alternativas) sobre los demás es que no hace necesario hacer las comparaciones sobre el mismo número de años cuando las alternativas tienen diferente vida útil. Si un proyecto se continua por más de un ciclo, el costo anual equivalente para el siguiente ciclo y todos los ciclos subsiguientes sería exactamente el mismo que para el primero, suponiendo que todos los flujos de caja fueron iguales cada ciclo

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